Question

【題目】如圖,在△ACD中,∠ACD＝90°,AC＝b,CD＝a,AD＝c,點B在CD的延長線上

(1)求證:關于x的一元二次方程必有實數根

(2)當b＝3,CB＝5時.將線段AD繞點D順時針旋轉90°,得到線段DE,連接BE,則當a的值為多少時,線段BE的長最短,最短長度是多少？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當a=1時，線段BE最短，最短長度是

【解析】

（1）根據勾股定理得到，代入一元二次方程根的判別式得，即可得證；

（2）過E作EF⊥BC于F，根據余角的性質得到∠DEF=∠ADC，根據全等三角形的性質得到DF=AC=b=3，EF=CD，設CD=x，則，于是得出結論.

（1）證明： 在Rt△ACD中，由勾股定理得：，即

∴關于x的一元二次方程必有實數根

（2）過E作EF⊥BC于F，如圖

∵∠C=∠ADE=90°

∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°

∴∠DEF=∠ADC

在△EDF和△DAC中

∴△EDF≌△DAC（AAS）

∴DF=AC=b=3，EF=CD

設CD=x，則

∴的最小值是2

∴當CD=1時，BE的最小值是

即當a=1時，線段BE最短，最短長度是