Question

【題目】如圖1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，點E在AB上，F是線段BD的中點，連接CE、FE．

（1）請你探究線段CE與FE之間的數量關系（直接寫出結果，不需說明理由）；

（2）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉，使△AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連接BD，取BD的中點F，問（1）中的結論是否仍然成立，并說明理由；

（3）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉任意的角度（如圖3），連接BD，取BD的中點F，問（1）中的結論是否仍然成立，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）線段CE與FE之間的數量關系是CE＝FE；（2）（1）中的結論仍然成立．理由見解析；（3）（1）中的結論仍然成立．理由見解析

【解析】

（1）連接CF，直角△DEB中，EF是斜邊BD上的中線，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；
（2）思路同（1）也要通過證明△EFC是等腰直角三角形來求解．連接CF，延長EF交CB于點G，先證△EFC是等腰三角形，可通過證明CF是斜邊上的中線來得出此結論，那么就要證明EF=FG，就需要證明△DEF和△FGB全等．這兩個三角形中，已知的條件有一組對頂角，DF=FB，只要再得出一組對應角相等即可，我們發現DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此構成了兩三角形全等的條件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是個等腰三角形了，下面證明△CFE是個直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么這個三角形就是個等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的結論了；
（3）思路同（2）通過證明△CFE來得出結論，通過全等三角形來證得CF=FE，取AD的中點M，連接EM，MF，取AB的中點N，連接FN、CN、CF．那么關鍵就是證明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位線和直角三角形斜邊上的中線，我們不難得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我們只要再證得兩對應邊的夾角相等即可得出全等的結論．我們知道PN是△ABD的中位線，那么我們不難得出四邊形AMPN為平行四邊形，那么對角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么兩三角形就全等了．證明∠CFE是直角的過程與（1）完全相同．那么就能得出△CEF是個等腰直角三角形，于是得出的結論與（1）也相同．

（1）如圖1，連接CF，線段CE與FE之間的數量關系是CE＝FE；

解法1：

∵∠AED＝∠ACB＝90°

∴B、C、D、E四點共圓

且BD是該圓的直徑，

∵點F是BD的中點，

∴點F是圓心，

∴EF＝CF＝FD＝FB，

∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，

由圓周角定理得：∠DCE＝∠DBE，

∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°

∴∠ECF＝45°＝∠CEF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CE＝EF．

解法2：

易證∠BED＝∠ACB＝90°，

∵點F是BD的中點，

∴CF＝EF＝FB＝FD，

∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，

∴∠DFE＝2∠ABD，

同理∠CFD＝2∠CBD，

∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，

即∠CFE＝90°，

∴CE＝EF．

（2）（1）中的結論仍然成立．

解法1：如圖2﹣1，連接CF，延長EF交CB于點G，

∵∠ACB＝∠AED＝90°，

∴DE∥BC，

∴∠EDF＝∠GBF，

又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，

∴△EDF≌△GBF，

∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，

∵AC＝BC，

∴CE＝CG，

∴∠EFC＝90°，CF＝EF，

∴△CEF為等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°，

∴CE＝FE；

解法2：如圖2﹣2，連結CF、AF，

∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，

又點F是BD的中點，

∴FA＝FB＝FD，

而AC＝BC，CF＝CF，

∴△ACF≌△BCF，

∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，

∵FA＝FB，CA＝CB，

∴CF所在的直線垂直平分線段AB，

同理，EF所在的直線垂直平分線段AD，

又DA⊥BA，

∴EF⊥CF，

∴△CEF為等腰直角三角形，

∴CE＝EF．

（3）（1）中的結論仍然成立．

解法1：如圖3﹣1，取AD的中點M，連接EM，MF，取AB的中點N，連接FN、CN、CF，

∵DF＝BF，

∴FM∥AB，且FM＝AB，

∵AE＝DE，∠AED＝90°，

∴AM＝EM，∠AME＝90°，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°

∴CN=AN=AB，∠ANC＝90°，

∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，

∴四邊形MFNA為平行四邊形，

∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，

∴∠EMF＝∠FNC，

∴△EMF≌△FNC，

∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，

由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，

∴∠FCN+∠PFC＝90°，

∴∠EFM+∠PFC＝90°，

∴∠EFC＝90°，

∴△CEF為等腰直角三角形，

∴∠CEF＝45°，

∴CE＝FE．