Question

【題目】已知：如圖，在□ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點．

（1）試判斷四邊形AECF是什么四邊形？為什么？

（2）當AB⊥AC時，四邊形AECF是什么四邊形？

（3）結合圖形，請你添加一個條件，使其與原已知條件共同能推出四邊形AECF是矩形．

Answer 1

【答案】（1）四邊形AECF是平行四邊形，理由見解析；（2）當AB⊥AC時四邊形AECF是菱形，理由見解析；（3）添加的條件是∠AEC=90°，理由見解析.

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質推出AD∥BC，AD=BC，再求出AF=CE，AF∥CE，即可得到答案；

（2）連接EF，易證四邊形ABEF是平行四邊形，得到EF∥AB，推出EF⊥AC，故平行四邊形AECF是菱形；

（3）根據矩形的判定即可推出答案．

（1）四邊形AECF是平行四邊形．理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵E、F分別是BC、AD的中點，

∴AF=AD，CE=BC，

∴AF=CE，AF∥CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當AB⊥AC時，四邊形AECF是菱形．

理由是：連接EF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵E、F分別是BC、AD的中點，

∴AF=AD，BE=BC，

∴AF=BE，AF∥BE，

∴四邊形AFEB是平行四邊形，

∴AB∥EF，

∵AB⊥AC，

∴EF⊥AC，

∵由（1）知：四邊形AECF是平行四邊形，

∴平行四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）；

（3）添加的條件是∠AEC=90°．

理由是：∵四邊形AECF是平行四邊形，∠AEC=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．