Question

【題目】在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的變換點的坐標定義如下：

當時，點的坐標為；當時，點的坐標為．

（1）點的變換點的坐標是　 　；點的變換點為，連接，則　 　°；

（2）已知拋物線與軸交于點，（點在點的左側），頂點為．點在拋物線上，點的變換點為．若點恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形是菱形，求的值；

（3）若點是函數圖象上的一點，點的變換點為，連接，以為直徑作，的半徑為，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，1）；90°；（2）或或；（3）的取值范圍是．

【解析】

（1）依據對應的定義可直接得點、的坐標，然后依據題意畫出圖形，過點作軸，垂足為，過點軸，垂足為．接下來證明.由全等三角形的性質得到，然后可求得.

（2）拋物線的頂點E的坐標為E（-2，m），m>0，設點P的坐標為

，①若，則點的坐標為．

然后依據點恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形是菱形，可得到關于x和m的方程組，從而可求得m的值；②若，則點的坐標為．同理可列出關于x、m的方程組，從而求得m的值；

（3）設點F的坐標為，依據題意可得到點的坐標為，然后依據兩點間的距離公式可得到的長度與x的函數關系式，從而可求得的取值范圍，然后可求得r的取值范圍.

（1）∵點，3＞1，

∴點的對應點的坐標是（﹣3，1）．

∵，﹣4＜2，

∴點的變換點為的坐標為（﹣2，﹣4）．

過點作軸，垂足為，過點軸，垂足為．

∵，

∴．

在和中，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

故答案為：（﹣3，1）；90°．

（2）由題意得的頂點的坐標為．

∵點在拋物線上，

∴設點的坐標為．

①若，則點的坐標為．

∵點恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形是菱形，

∴

∴，符合題意。

②若，則點的坐標為．

∵點恰好在拋物線的對稱軸上，且四邊形是菱形，

∴

∴或，符合題意．

綜上所述，或或．

（3）設點的坐標為．

當時，解得：，不合題意．

當時，解得：，符合題意．

∵點的坐標為，且，

∴點的坐標為．

∴．

∴當時，有最小值，的最小值，當時，有最大值，的最大值．

∴的取值范圍為：．

∵，

∴的取值范圍是．