Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于點A、B，與軸交于點C，點B的坐標為 ，點在軸上，連接AD．

（1）＝　 　；

（2）若點是拋物線在第二象限上的點，過點作PF⊥x軸，垂足為，與交于點E．是否存在這樣的點P，使得PE=7EF？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點在拋物線上，且點的橫坐標大于-4，過點作，垂足為H，直線與軸交于點K，且，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）P點坐標（-2,8）；（3）P點坐標為（-1，9）或（-1，9）或（，-）.

【解析】

（1）B點坐標代入二次函數得出b值；

（2）設出P點坐標，根據函數求出其余點坐標，進而求出線段長度，根據所給關系列出等式，即可求出P點坐標；

（3）延長AD交拋物線于T，過P作PF⊥x軸于F，交AD于E，根據同角的余角相等易證cos∠FAD=cos∠EPH=，進而求得PH=PE，根據已知的面積的關系式可求得PK=PH，進而求得PE，PF關系，設P點橫坐標為t，可用t表示PE，PF，可列得關于t的方程，求得的t值要注意是否符合各種情況下t的取值范圍．

（1）∵y=-x+bx+8，B點坐標代入函數，∴b=-2；

故答案為：-2；

（2）由（1）得y=-x-2x+8，∴A點坐標（-4,0），B點坐標（2,0），

∵D點坐標為（0,2），

∴AD解析式為y=x+2，

設P（t，-t-2t+8），

∴EF=+2，PE=-t-t+6，

若PE=7EF，則有-t-t+6=7(+2)，

解得t=-2或t=-4（舍去），

∴P點坐標為（-2,8），

故存在這樣的點P，使得PE=7EF，點P的坐標為（-2,8）；

（3）如圖，延長AD交拋物線于T，過P作PF⊥x軸于F，交AD于E，

①若P在直線AT上方，

∵OA=4，OD=2，∠AOD=90°，

∴AD==2√5，

∵AH⊥PH，

∴∠FAD+∠AEF=90°，∠EPH+∠PEH=90°，∠AEF=∠PEH，

∴∠FAD=∠EPH，

∴cos∠FAD====cos∠EPH=，

∴PH=PE，

∴cos∠FPK==，∴PK=PF，

∵，∴HK=PH，∴PK=PH，

∴PF=PH=PE，

∴=，

設P（t，-t-2t+8），

則有5(-t-2t+8)=6(-t-t+6)，

得t+5t+4=0，

解得t=-1或t=-4（舍去），

∴P點坐標為（-1，9）；

②若P在直線AT下方，且在x軸上方，此時S△AKA＞S△PHA，與題意不符，舍去；

③若P在x軸下方，可得2PE=5PF，

得方程2(t+t-6)=6(t+2t-8)，

得3t+5t-28=0，

解得t=或t=-4（舍去），

∴P點坐標為（，-），

綜上所述，P點坐標為（-1，9）或（-1，9）或（，-）．