Question

【題目】閱讀材料：求解一元一次方程，需要根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x＝a的形式；求解二元一次方程組，需要通過(guò)消元把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解；求解三元一次方程組，需要把它轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來(lái)解；求解一元二次方程，需要把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解；求解分式方程，需要通過(guò)去分母把它轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，各類方程的解法不盡相同，但是它們都用到一種共同的基本數(shù)學(xué)思想﹣轉(zhuǎn)化，即把未知轉(zhuǎn)化為已知來(lái)求解．

用“轉(zhuǎn)化“的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．

例如，解一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，通過(guò)解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得原方程x3+x2﹣2x＝0的解．

再例如，解根號(hào)下含有來(lái)知數(shù)的方程：＝x，通過(guò)兩邊同時(shí)平方把它轉(zhuǎn)化為2x+3＝x2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．因?yàn)?/span>2x+3≥0，且x≥0，所以x＝﹣1不是原方程的根，x＝3是原方程的解．

（1）問(wèn)題：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　．

（2）拓展：求方程＝x﹣1的解；

（3）應(yīng)用：在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形中構(gòu)造一個(gè)如圖所示的正方形；在正方形ABCD邊上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝，連接AG，BH，CE，DF，得到正方形MNPQ，若小正方形MNPQ（圖中陰影部分）的邊長(zhǎng)為，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）1，﹣2；（2）詳見(jiàn)解析；（3）n的值為9．

【解析】

（1）利用因式分解法，即可得出結(jié)論；

（2）先方程兩邊平方轉(zhuǎn)化成整式方程，再求一元二次方程的解，最后必須檢驗(yàn)；

（3）先根據(jù)勾股定理求出AG，進(jìn)而得出sin∠AGD＝，再構(gòu)造出直角三角形，得出sin∠EAW＝，進(jìn)而建立方程，利用（2）的方法解此方程即可得出結(jié)論．

（1）∵x3+x2﹣2x＝0，

∴x（x﹣1）（x+2）＝0

∴x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0，

∴x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2，

故答案為1，﹣2；

（2）給方程

＝x﹣1的兩邊平方得，3x2﹣3x﹣2＝（x﹣1）2，

∴x＝或x＝﹣1，

∵3x2﹣3x﹣2≥0且x﹣1≥0，

∴x＝﹣1不是原方程的解，x＝是原方程的解；

（3）如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，

CD∥AB，

∴∠AGD＝∠GAB，

∵CG∥AE，CG＝AE，

∴四邊形AECG是平行四邊形，

∴AG∥EC，點(diǎn)E作EW∥PQ交AQ于W，

∴四邊形PQWE是平行四邊形，

∴EW＝PQ＝，

∵四邊形MNPQ是正方形，

∴∠PQA＝90°，

∴∠AWE＝90°，

在Rt△ADG中，AD＝1，DG＝1﹣，

根據(jù)勾股定理得，AG＝，

∴sin∠AGD＝＝，

在Rt△AWD中，AE＝，EW＝，

∴sin∠EAW＝，

∵∠AGD＝∠EAW，

∴＝，

兩邊平方得，，

∴2n2﹣2n+1＝145，

∴n2﹣n﹣72＝0，

∴（n﹣9）（n+8）＝0，

∴n＝9或n＝﹣8（由于n＞0，因此舍去），

∴n＝9，

即：n的值為9．