Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

(1)證明：DE為⊙O的切線；

(2)若BC=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接OD，CD，由以BC為直徑的⊙O，可得∠BDC=90°，又由等腰△ABC的底角為30°，可得AD=BD，即可證得OD∥AC，繼而可證得結論；（2）根據三角函數的性質，求得CD、CE、DE的長，根據S陰=S四邊形ODEC﹣S扇形ODC即可求得陰影部分的面積．

（1）證明：連接OD，CD，

∵BC為⊙O直徑，

∴∠BDC=90°，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵∠A=∠B=30°，BC=4，

∴CD=BC=2，CE=CD=1，DE=CDcos30°=，

∴S陰=S四邊形ODEC﹣S扇形ODC=（1+2）×﹣=﹣．