Question

求證：不論n為怎樣的整數，

n(n+1)(2n+1)

6

的計算結果都是整數．

Answer 1

分析：首先證明n（n+1）（2n+1）能被2整除，再分情況討論證明n（n+1）（2n+1）能被3整除從而得出n（n+1）（2n+1）能被6整除．

解答：解：∵n（n+1）是兩個連續的整數，必有一個偶數，
所以n（n+1）（2n+1）必定能被2整除，
現在證明他也能被3整除，
再考慮n，∵k表示整數，
①n=3k
顯然n（n+1）（2n+1）能被3整除，
②n=3k+1，
∴2n+1=2（3k+1）+1=6k+3=3（2k+1），能被3整除，
顯然n（n+1）（2n+1）能被3整除，
③n=3k+2，
n+1=3k+3能被3整除，
顯然n（n+1）（2n+1）能被3整除，
綜上所述：
n（n+1）（2n+1）能被6整除．
即不論n為怎樣的整數，

n(n+1)(2n+1)

6

的計算結果都是整數．

點評：此題主要考查了因式分解的應用，根據已知分別得出n（n+1）（2n+1）能被2整除以及n（n+1）（2n+1）能被3整除是解題關鍵．