Question

一張矩形紙片OABC放在平面直角坐標系內，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
（1）如圖，將紙片沿CE對折，使點B落在x軸上的點D處，求D點的坐標；
（2）在（1）中，設BD與CE的交點為P，如果點B、P在拋物線y=x²+bx+c上，求b、c的值；
（3）如果將矩形紙片沿某直線l對折，使點B落在坐標軸上的點F處，且BF與l的交點Q恰好落在（2）的拋物線上．除了上述的點D外，這樣的點F是否存在？如果存在，求出點F的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）OD=

CD2-OC2

=

52-42

=3，
所以點D的坐標為（3，0）；

（2）由折疊知，CE垂直平分BD，P是BD的中點，過點P作OA的平行線，交OC于點H，則PH是梯形ODBC的中位線，

∴P(

OD+BC

2

，

OC

2

)，
即P（4，2）；
又∵點B（5，4）和點P（4，2）在拋物線y=x²+bx+c上，
∴

4=52+5b+c 2=42+4b+c

，
解得b=-7，c=14；

（3）由（2）知，拋物線的解析式為y=x²-7x+14，
假設點F存在，
當點F在x軸上時，設F（m，0），
則BF與直線l的交點Q的為(

m+5

2

，2)，
代入拋物線的解析式，解得：m=1或m=3，
即所求坐標為F（1，0）或F（3，0）（怒為點D）；
當點F在y軸上時，設F（0，n），則Q(

5

2

，

n+4

2

)，
代入拋物線解析式，解得n=

3

2

，
即所求坐標為F(0，

3

2

)．