Question

某一次函數的圖象與x軸相交于點A（8，0），與y軸相交于點B（0，6），動點P、Q分別同時從A、B出發，其中點P在線段AB上點向B移動，速度是2單位/秒．點Q在線段BO上，以1個單位/秒的速度向點O移動，設移動的時間為t（秒）
（1）求這個一次函數的解析式；
（2）四邊形OAPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（3）當t為何值時，△BPQ是等腰三角形？
（4）若△BPQ是直角三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）設一次函數的解析式為y=kx+b，把A（8，0），B（0，6）代入得到方程組，求出方程組的解，即可得到一次函數的解析式；
（2）根據勾股定理求出AB，根據銳角三角函數求出sinB，即可求出QD，根據三角形的面積公式求出即可；
（3）分為3種情況：當BP=BQ時，t=10-2t，t=

10

3

；當QB=QP時，

6

5

t+2t=10，t=

25

8

；當PB=PQ時，t=

6

5

（10-2t），t=

60

17

，即可得到答案．
（4）根據直角三角形的性質求出點P的坐標．

解答：解：（1）設一次函數的解析式為y=kx+b，
把A（8，0），B（0，6）代入得：

0=8k+b 6=b

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴一次函數的解析式為：y=-

3

4

x+6，
答：一次函數的解析式為y=-

3

4

x+6．

（2）解：∵OB=6，OA=8，
根據勾股定理得：AB=10，
△AOB的面積=

1

2

×6×8=24，即可求出QD，
過點Q作QD⊥AB于D
∵sinB=

OA

AB

=

4

5

∴QD=BQ×

4

5

=

4

5

t
∴△BPQ的面積=

1

2

×（10-2t）×

4

5

t=-

4

5

t²+4t
∴S=24-（-

4

5

t²+4t）=

4

5

t²-4t+24，
答：S與t之間的函數關系式是S=

4

5

t²-4t+24．

（3）解：當BP=BQ時 t=10-2t，t=

10

3

當QB=QP時

6

5

t+2t=10，t=

25

8

當PB=PQ時
t=

6

5

（10-2t），t=

60

17

綜上所述．當t=

10

3

或

25

8

或

60

17

時，△BPQ是等腰三角形，
答：當t=

10

3

或

25

8

或

60

17

時，△BPQ是等腰三角形．

（4）解：點P的坐標為（

40

11

，

36

11

），（

24

13

，

60

13

），
答：點P的坐標為（

40

11

，

36

11

），（

24

13

，

60

13

）．

點評：本題主要考查對一次函數的性質，用待定系數法求出一次函數的解析式，解二元一次方程組，勾股定理，三角形的面積，等腰三角形的判定等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，題型較好，難度適中．