Question

如圖，△ABC是RT△，∠CAB=30°，BC=1，以AB、BC、AC為邊分別作3個(gè)等邊△ABF，△BCE，△ACD．過(guò)F作MF垂直DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接并延長(zhǎng)DE交MF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．那么△DMN的面積為

10

3

．

Answer 1

分析：由△ABC是RT△，∠CAB=30°，BC=1，即可求得AB與AC的值，然后由以AB、BC、AC為邊分別作3個(gè)等邊△ABF，△BCE，△ACD，即可求得EF與DM的值，再過(guò)點(diǎn)E作EH⊥MN于H，即可求得FH與EH的值，繼而求得梯形MHED的面積，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求得△DMN的面積．

解答：解：∵△ABC是RT△，∠CAB=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC=

BC

sin∠CAB

=

1

3 3

=

3

，
∵△ABF，△BCE，△ACD是等邊三角形，DM⊥MN，
∴FA=FB=AB=2，AD=AC=

3

，BE=BC=1，
∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°，
∴∠MAF=∠MAB-∠FAB=90°-60°=30°，
∴∠AFM=60°，
∴AM=

3

，F(xiàn)M=1，
∴DM=AD+AM=2

3

，EF=BE+BF=3，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥MN于H，
∵∠AFM=∠AFB=60°，
∴∠EFH=180°-∠AFM-∠AFB=60°，
∴∠FEH=30°，
∴FH=

1

2

EF=

3

2

，EH=

3

2

3

，
∴MH=FM+FH=1+

3

2

=

5

2

，
∴S_梯形MHED=

1

2

（EH+MD）•MH=

1

2

×（

3

2

3

+2

3

）×

5

2

=

35

8

3

，
∵DM⊥MN，EH⊥MN，
∴EH∥DM，
∴△EHN∽△DMN，
∴

S△EHN

S△DMN

=(

EH

DM

)2=(

3 2 3

2 3

)2=

9

16

，
∴S_梯形MHED：S_△DMN=7：16，
∴S_△DMN=10

3

．
故答案為：10

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握含30°直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應(yīng)用，注意輔助線的作法．