Question

【題目】在中，以為斜邊，作直角，使點落在內，．

（1）如圖1，若，，，點，、分別為，的中點，連接，求線段的長；

（2）如圖2，若，把繞點遞時針旋轉一定角度，得到，連接并延長變于點，求證：；

（3）如圖3，若，過點的直線交于點，交于點，，且，請直接寫出線段、、之間的關系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析，（3）

【解析】

（1）在直角三角形中，利用銳角三角函數求出AB，得到利用三角形中位線的性質即可得到答案；

（2）先利用互余判斷出，∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ全等，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可得到答案；

（3）連接AF，利用線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，判斷出∠AFB=90°，利用勾股定理即可得到答案．

解：（1）∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，，

∴cos∠BAD，

∴AC=AB=12，

∵點P、M分別為BC、AB邊的中點，

∴PM=AC=6，

（2）如圖2，

在ED上截取EQ=PD，

∵∠ADB=90°，

∴∠BDP+∠ADE=90°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∵把△ABD繞點A逆時針旋轉一定角度，得到△ACE，

∴∠AEC=∠ADB=90°

∵∠AED+∠PEC=90°，

∴∠BDP=∠PEC，

在△BDP和△CEQ中，

，

∴△BDP≌△CEQ，

∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，

∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，

∠PQC=∠PEC+∠QCE，

∴∠EPC=∠PQC，

∴PC=CQ，

∴BP=CP

（3）

理由：如圖3，

連接AF，

∵EF⊥AC，且AE=EC，

∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，

∵EF⊥AC，且AE=EC，

∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，

∵AD=BD，

∴BD=DC，

∴∠DBC=∠DCB，

∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，

∴∠DAF=∠DCB，

∴∠DAF=∠DBC，

∴∠AFB=∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，DA=DB，

∴

在Rt△ABF中，

∵FA=FC

∴