Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+3（a≠0）的圖象經過點A（3，0），B（4，1），且與y軸交于點C，連接AB、AC、BC．

（1）求此二次函數的關系式；
（2）判斷△ABC的形狀；若△ABC的外接圓記為⊙M，請直接寫出圓心M的坐標；
（3）若將拋物線沿射線BA方向平移，平移后點A、B、C的對應點分別記為點A1、B1、C1 ， △A1B1C1的外接圓記為⊙M1 ， 是否存在某個位置，使⊙M1經過原點？若存在，求出此時拋物線的關系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（3，0），B（4，1）代入y=ax2+bx+3中，

，

解得： ，

所以所求函數關系式為：y= x2﹣ x+3；

（2）

解：△ABC是直角三角形，

過點B作BD⊥x軸于點D，

易知點C坐標為：（0，3），所以OA=OC，

所以∠OAC=45°，

又∵點B坐標為：（4，1），

∴AD=BD，

∴∠OAC=45°，

∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴△ABC是直角三角形，

圓心M的坐標為：（2，2）；

（3）

解：存在

取BC的中點M，過點M作ME⊥y軸于點E，

∵M的坐標為：（2，2），

∴MC= = ，OM=2 ，

∴∠MOA=45°，

又∵∠BAD=45°，

∴OM∥AB，

∴要使拋物線沿射線BA方向平移，且使⊙M1經過原點，

則平移的長度為：2 ﹣ 或2 + ；

∵∠BAD=45°，

∴拋物線的頂點向左、向下均分別平移 = 個單位長度

或 = 個單位長度，

∵y= x2﹣ x+3= （x﹣ ）2﹣ ，

∴平移后拋物線的關系式為：y= （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ，

即y= （x﹣ ）2﹣ ，

或y= （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ，

即y= （x﹣ ）2﹣ ．

綜上所述，存在一個位置，使⊙M1經過原點，此時拋物線的關系式為：

y= （x﹣ ）2﹣ 或y= （x﹣ ）2﹣ ．

【解析】（1）直接利用待定系數法求出a，b的值進而得出答案；（2）首先得出∠OAC=45°，進而得出AD=BD，求出∠OAC=45°，即可得出答案；（3）首先利用已知得出圓M平移的長度為：2 ﹣ 或2 + ，進而得出拋物線的平移規律，即可得出答案．