Question

如圖，AB、CD是半徑為1的⊙P兩條直徑，且∠CPB=120°，⊙M與PC、PB及弧CQB都相切，O、Q分別為PB、弧CQB上的切點．
（1）試求⊙M的半徑r；
（2）以AB為x軸，OM為y軸（分別以OB、OM為正方向）建立直角坐標系，
①設直線y=kx+m過點M、Q，求k，m；?????????????????
②設函數y=x²+bx+c的圖象經過點Q、O，求此函數解析式；
③當y=x²+bx+c＜0時，求x的取值范圍；
④若直線y=kx+m與拋物線y=x²+bx+c的另一個交點為E，求線段EQ的長度．

Answer 1

分析：（1）利用在Rt△POM中

r

PM

=sin60°=

3

2

與PQ=PM+MQ建立起⊙P半徑與⊙M半徑r間的關系，從而求得r的值．
（2）①首先根據半徑r與∠QPB=60°確定出M、Q兩點的坐標，再代入y=kx+m，解方程求得k、m的值．
②首先根據y=x²+bx+c的圖象經過點O，確定出c=0，再將Q點的坐標代入y=x²+bx+c，求得b的值，此函數解析式確定．
③將拋物線y=x²+bx+c首先轉化為一元二次方程x²+bx+c=0的值x₁、x₂（其中x₁≤x₂）的值，那么y=x²+bx+c＜0關于x的取值范圍即為x₁＜x＜x₂．
④通過上面①②知兩解析式分別是y=

3

x+2

3

-3、y=x2+

7

2

x首先求得E點坐標，Q點的坐標通過圖不難確定，那么再求的兩點間的距離即可．

解答：解：（1）由

r

PM

=sin60°=

3

2

，PM+MQ=

2r

3

+r=1，
得r=2

3

-3．（2分）

（2）①點M（0，r），即M(0，2

3

-3)；
點Q(rcos60°，

3

2

)，即Q(

3

-

3

2

，

3

2

)．
由已知直線過點M、Q，得m=2

3

-3，k(

3

-

3

2

)+m=

3

2

，
解得k=

3

，m=2

3

-3． （5分）
②由y=x²+bx+c過點O、Q，則c=0，
(

2 3 -3

2

)2+b(

2 3 -3

2

)=

3

2

，得b=

7

2

，
即得y=x2+

7

2

x．（8分）
③令x2+

7

2

x=0，則x1=-

7

2

，x₂=0，
即得當-

7

2

＜x＜0時，y＜0．
④由已知得y=

3

x+2

3

-3，y=x2+

7

2

x，
消去y，得x2+(

7

2

-

3

)x+3-2

3

=0． （12分）
設點E的橫坐標為x₂，點Q的橫坐標為x1=

3

-

3

2

，
由根與系數的關系得x₂=-2，
則|x1-x2|=|

3

-

3

2

+2|=

3

+

1

2

（14分）
進而得線段EQ的長為2

3

+1． （15分）

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．