Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形.... 按如圖的方式放置．點和點分別落在直線和軸上．拋物線過點,且頂點在直線上，拋物線過點，且頂點在直線上，...按此規律，拋物線,過點, 且頂點也在直線上，其中拋物線交正方形的邊于點，拋物線交正方形的邊于點(其中且為正整數) ．

（1）直接寫出下列點的坐標： ， ；

（2）寫出拋物線的解析式，并寫出拋物線的解析式求解過程，再猜想拋物線的頂點坐標；

（3）設，試判斷與的數量關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）拋物線的解析式為：，拋物線的解析式為，拋物線的解析式過程見解析；拋物線的頂點坐標為；（3）與的數量關系為，理由見解析．

【解析】

（1）先求出A1坐標，根據正方形性質，求出B1坐標，進而求出A2坐標，最后求出B2坐標；

（2）根據A2點B2的坐標求出拋物線的對稱軸，根據的頂點在上求出頂點坐標，進而利用頂點式求出解析式；根據A3B3的坐標求出拋物線的對稱軸，根據的頂點在上求出頂點坐標，進而利用頂點式求出解析式；寫出三條拋物線的頂點坐標，找出規律，寫出 的頂點坐標；

（3）根據（2）求出D1，D2坐標，進而求出，，，長， 最后求出，比較即可 ．

解：（1）把x=0代入得y=-1，∴點A1坐標為(0，-1) ；

∵四邊形 是正方形

∴A1 B1=1，∴點B1坐標為(0，-1) ；

把x=1代入得y=-2，∴點A2坐標為(1，-2) ；

∵四邊形是正方形

∴A2 B2=2，∴點B2坐標為(3，-2) ；

∴

（2）解：由（1）得點A2坐標為(1，-2)，點B2坐標為(3，-2)，

拋物線的對稱軸為直線

把代入得，

拋物線的頂點為

設拋物線的解析式為：

拋物線過點

當時，

解得

拋物線的解析式為：

把代入得，∴點A3坐標為(3，-4)

∵四邊形 是正方形

∴A3 B3=4，∴點B3坐標為(7，-4) ；

∴拋物線的對稱軸為直線

把代入得，

拋物線的頂點為

設拋物線的解析式為: ，

拋物線過點

解得

拋物線的解析式為：，

根據拋物線的頂點為

拋物線的頂點為，

拋物線的頂點為

得拋物線的頂點坐標為

（3）與的數量關系為

理由如下；由（2）得拋物線的解析式為

當時，

解得（舍去）

即

由（2）得拋物線的解析式為

當時，

解得（舍去）

即

．