Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，且EG、FH交于點O．若AC=4，則EG2+FH2=______．

Answer 1

【答案】16

【解析】

根據三角形的中位線定理和菱形的判定，可得順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；根據菱形的性質得到EG⊥HF，且EG=2OE，FH=2OH．在Rt△OEH中，根據勾股定理得到OE2+OH2=EH2=4，再根據等式的性質，在等式的兩邊同時乘以4，根據4=22，把等式進行變形，并把EG=2OE，FH=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值．

∵E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點，

∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線，

EF、HG分別是△ABC、△ACD的中位線，

根據三角形的中位線的性質知，EH=FGBD，EF=HGAC．

又∵AC=BD，

∴EH=FG=EF=HG，

∴四邊形EFGH是菱形，

∴EG⊥FH，EG=2OE，FH=2OH．

在Rt△OEH中，根據勾股定理得：OE2+OH2=EH2=4，

等式兩邊同時乘以4得：4OE2+4OH2=4×4=16，

∴（2OE）2+（2OH）2=16，

即EG2+FH2=16．

故答案為：16．