Question

已知，如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，，對角線AC，BD交于O點，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F．
（1）求證：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF，根據平行四邊形性質得出AF∥BE，即可推出四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）證△DFO≌△BEO，推出OF=OE，得出四邊形BEDF是平行四邊形，根據勾股定理求出AC，求出OA=AB=1，求出∠AOB=45°，根據∠AOF=45°，推出EF⊥BD，根據菱形的判定推出即可．
解答：（1）證明：∵∠AOF=90°，∠BAO=90°，
∴AB∥EF，
又∵平行四邊形ABCD，
∴AF∥EB，
∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）當旋轉角∠AOF=45°時，四邊形BEDF是菱形，理由如下：
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
在△DFO和△BEO中
∵，
∴△DFO≌△BEO（AAS），
∴OF=OE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵AB=1，BC=，
∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=2，
∴AO=1=AB，
∴∠AOB=45°，
又∵∠AOF=45°，
∴∠BOF=90°，
∴BD⊥EF，
∴四邊形BEDF是菱形，
即在旋轉過程中，四邊形BEDF能是菱形，此時AC繞點O順時針旋轉的度數是45°．
點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定．菱形的判定等知識點的綜合運用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，此題綜合性比較強，但是一道比較好的題目．