Question

（本題滿分12分）
如圖，已知拋物線y=x²+bx－3a過點A（1，0），B（0，－3），與x軸交于另一點C.

（1）求拋物線的解析式；
（2）若在第三象限的拋物線上存在點P，使△PBC為以點B為直角頂點的直角三角形，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在一點Q，使以P，Q，B，C為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=x2+2x－3 （2）點坐標為（－1，－4）（3）點Q的坐標為（－2，－3）

試題分析：解：（1）把A（1，0），B（0，－3）代入y=x²+bx－3a中，得

解得
∴拋物線的解析式y=x²+2x－3
（2）令y=0，得x²+2x－3=0，
解得x₁=－3，x₂=1
∴點C（－3，0）
∵B（0，－3）
∴△BOC為等腰直角三角形.
∴∠CBO=45°過點P作PD⊥y軸，垂足為D，
∵PB⊥BC，∴∠PBD=45°∴PD=BD
所以可設點P（x，－3+x）
則有－3+x=x²+2x－3，∴x=－1，所以P點坐標為（－1，－4）
（3）由（2）知，BC⊥BP
當BP為直角梯形一底時，由圖象可知點Q不可能在拋物線上.
若BC為直角梯形一底，BP為直角梯形腰時，
∵B（0，－3），C（－3，0），
∴直線BC的解析式為y=－x－3
∵直線PQ∥BC，且P（－1，－4），
∴直線PQ的解析式為y=－（x+1）－3－1即y=－x－5            
聯立方程組得
解得x₁=－1，x₂=－2
∴x=－2，y=－3，即點Q（－2，－3）
∴符合條件的點Q的坐標為（－2，－3）
點評：本題難度較大。主要考查學生對幾種函數的綜合運用。是中考的常考題型，復習備考時應加強訓練。