Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，點D在AC上，CD＝3厘米．點P、Q分別由A、C兩點同時出發，點P沿AC方向向點C勻速移動，速度為每秒k厘米，行完AC全程用時8秒；點Q沿CB方向向點B勻速移動，速度為每秒1厘米．設運動的時間為x秒，△DCQ的面積為y₁平方厘米，△PCQ的面積為y₂平方厘米．

（1）求y₁與x的函數關系，并在圖2中畫出y₁的圖象；
（2）如圖2，y₂的圖象是拋物線的一部分，其頂點坐標是（4，12），求點P的速度及AC的長；
（3）在圖2中，點G是x軸正半軸上一點（0＜OG＜6），過G作EF垂直于x軸，分別交y₁、y₂于點E、F．
①說出線段EF的長在圖1中所表示的實際意義；
②當0＜x＜６時，求線段EF長的最大值．

Answer 1

（1）．圖象如圖所示：

（2）點P的速度每秒厘米，AC＝12厘米；
（3）①表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）；②

試題分析：（1）已知了CD=3，根據Q點的速度可以用時間x表示出CQ的長，可根據三角形的面積計算公式得出y₁，x的函數關系式；
（2）可先求出y₂的函數式，然后根據其頂點坐標來確定k的取值．已知了P點走完AC用時8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根據三角形的面積公式列出關于y₂，x的函數關系式，進而可根據頂點坐標求出k的值；
（3）EF其實就是y₂-y₁，也就是三角形PCQ和CDQ的面積差即三角形PDQ的面積．得出EF的函數關系式后，根據自變量的取值以及函數的性質即可求出EF的最大值．
（1）∵，CD＝3，CQ＝x，
∴．圖象如圖所示：

（2），CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴．
∵拋物線頂點坐標是（4，12），
∴．解得
則點P的速度每秒厘米，AC＝12厘米；
（3）①觀察圖象，知線段的長EF＝y₂－y₁，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）
②由（2）得 .
∵EF＝y₂－y₁，
∴EF＝，
∵二次項系數小于０，
∴在范圍，當時，最大．
點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學生對二次函數的熟練掌握情況.