Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點M是拋物線上一點，以B，C，D，M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與y軸交于點C（0，3），
∴設拋物線解析式為y=ax²+bx+3（a≠0），
根據題意，得，解得。
∴拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3。
（2）存在。
由y=﹣x²+2x+3得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1。
①若以CD為底邊，則PD=PC，
設P點坐標為（x，y），根據勾股定理，得，即y=4﹣x。
又P點（x，y）在拋物線上，∴4﹣x=﹣x²+2x+3，即x²﹣3x+1=0。
解得＜1，舍去。
∴，∴。
∴點P坐標為。
②若以CD為一腰，
∵點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點C關于直線x=1對稱，
∴點P坐標為（2，3）。
綜上所述，符合條件的點P坐標為或（2，3）。
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據勾股定理，得CB=，CD=，BD=，
∴CB²+CD²=BD²=20。∴∠BCD=90°。
設對稱軸交x軸于點E，過C作CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F，

在Rt△DCF中，∵CF=DF=1，∴∠CDF=45°。，
由拋物線對稱性可知，∠CDM=2×45°=90°，點坐標M為（2，3）。
∴DM∥BC。∴四邊形BCDM為直角梯形。
由∠BCD=90°及題意可知，
以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；
以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。
綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2，3）。

試題分析：（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點均在坐標軸上，故用待定系數法求解即可。
（2）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標和縱坐標之間的關系，再結合拋物線解析式即可求解。
（3）根據拋物線上點的坐標特點，利用勾股定理求出相關邊長，再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角。