Question

已知拋物線的頂點為（0，4）且與x軸交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）直接寫出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個單位，設平移后拋物線的頂點為D，與x軸的交點為A、B，與原拋物線的交點為P．
①當直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時，求此時k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=﹣x²+4。
（2）①如圖，連接CE，CD，

∵OD是⊙C的切線，∴CE⊥OD。
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°。
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=。
∴當直線OD與以AB為直徑的圓相切時，k=OC=。
②存在k=，能夠使得點O、P、D三點恰好在同一條直線上。理由如下：
設拋物線y=﹣x²+4向右平移k個單位后的解析式是y=﹣（x﹣k）²+4，它與y=﹣x²+4交于點P，
由﹣（x﹣k）²+4=﹣x²+4，解得x₁=，x₂=0（不合題意舍去）。
當x=時，y=﹣k²+4。
∴點P的坐標是（，﹣k²+4）。
設直線OD的解析式為y=mx，把D（k，4）代入，得mk=4，解得m=。
∴直線OD的解析式為y=x。
若點P（，﹣k²+4）在直線y=x上，得﹣k²+4=•，解得k=±（負值舍去）。
∴當k=時，O、P、D三點在同一條直線上。

試題分析：（1）∵拋物線的頂點為（0，4），∴可設拋物線解析式為y=ax²+4。
又∵拋物線過點（2，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1。∴拋物線解析式為y=﹣x²+4。
（2）①連接CE，CD，根據切線的性質得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC=30°，然后Rt△CDO，得出OC=，則k=OC=。
②設拋物線y=﹣x²+4向右平移k個單位后的解析式是y=﹣（x﹣k）²+4，它與y=﹣x²+4交于點P，先求出交點P的坐標是（，﹣k²+4），再利用待定系數法求出直線OD的解析式為y=x，然后將點P的坐標代入y=x，即可求出k的值。