Question

【題目】（1）如圖1，已知垂直平分，垂足為，與相交于點，連接．

求證：．

（2）如圖2，在中，，為的中點．

①用直尺和圓規在邊上求作點，使得（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

②在①的條件下，如果，,P為MN中點,求MQ的長度.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①作點關于的對稱點，連接交于，連接，點即為所求．理由見解析；②MQ=3 .

【解析】

（1）證明FC=FB，利用等腰三角形的三線合一的性質即可解決問題．
（2）①作點P關于GN的對稱點P′，連P′M交GN于Q，連接PQ，點Q即為所求．
②想辦法證明GQ=GN即可．

（1）證明：如圖1中，

垂直平分線段，

，

，

，

．

（2）①作點關于的對稱點，連接交于，連接，點即為所求．

理由：垂直平分，

，，

，

，

點即為所求．

②∵P，P′關于GN對稱，
∴GN⊥PP′，PK=KP′，
∴∠PKN=90°，
∵∠N=30°，
∴∠PNK=60°，
∴PN=2KP=PP′，
∵PM=PN，
∴PM=PP′，
∵∠NPK=∠PMP′+∠P′，
∴∠PMP′=∠P′=30°，
∴∠QMN=∠N=30°，
∴MQ=NQ，
∵∠G=∠QMG=60°，
∴QG=QM，
∴MQ=QG=NQ，
∵GM=3，∠N=30°，∠NMG=90°，
∴GN=2GM=6，
∴MQ=3．