Question

（2006•福州）對于任意兩個二次函數：y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂，（a₁a₂≠0），當|a₁|=|a₂|時，我們稱這兩個二次函數的圖象為全等拋物線．
現有△ABM，A（-1，0），B（1，0）．記過三點的二次函數拋物線為“C_□□□”（“□□□”中填寫相應三個點的字母）
（1）若已知M（0，1），△ABM≌△ABN（0，-1）．請通過計算判斷C_ABM與C_ABN是否為全等拋物線；
（2）在圖2中，以A、B、M三點為頂點，畫出平行四邊形．
①若已知M（0，n），求拋物線C_ABM的解析式，并直接寫出所有過平行四邊形中三個頂點且能與C_ABM全等的拋物線解析式．
②若已知M（m，n），當m，n滿足什么條件時，存在拋物線C_ABM根據以上的探究結果，判斷是否存在過平行四邊形中三個頂點且能與C_ABM全等的拋物線？若存在，請列出所有滿足條件的拋物線“C_□□□”；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）應該是全等拋物線，由于這兩個拋物線雖然開口方向不同，但是開口大小一樣，因此二次項的絕對值也應該相等．可用待定系數法求出兩拋物線的解析式，然后進行判斷即可．
（2）與（1）相同都是通過構建平行四邊形來得出與△ABM全等的三角形，那么過與△ABM全等的三角形的三個頂點的拋物線都是與C_ABM全等的拋物線．
解答：解：（1）設拋物線C_ABM的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線C_ABM過點A（-1，0），B（1，0），M（0，1），


∴拋物線C_ABM的解析式為y=-x²+1，
同理可得拋物線C_ABN的解析式為y=x²+1，
∵|-1|=|1|，
∴C_ABM與C_ABN是全等拋物線．

（2）①設拋物線C_ABM的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線C_ABM過點A（-1，0），B（1，0），M（0，n），

拋物線C_ABM的解析式為y=-nx²+n，
與C_ABM全等的拋物線有：
y=nx²-n，y=n（x-1）²，y=n（x+1）²
②當n≠0且m≠±1時，存在拋物線C_ABM，與C_ABM全等的拋物線有：C_ABN，C_AME，C_BMF．
點評：本題是函數與幾何結合的綜合題，解題關鍵是善于利用幾何圖形的性質以及函數的性質和定理等知識，主要考查學生數形結合的數學思想方法．