Question

【題目】人和人之間講友情，有趣的是，數與數之間也有相類似的關系. 若兩個不同的自然數的所有真因數（即除了自身以外的正約數）之和相等，我們稱這兩個數為“親和數”. 例如：18的約數有1、2、3、6、9、18，它的真因數之和1+2+3+6+9=21；51的約數有1、3、17、51，它的真因數之和1+3+17=21，所以18和51為“親和數”. 數還可以與動物形象地聯系起來，我們稱一個兩頭（首位與末位）都是的數為“兩頭蛇數”.

（1）6的“親和數”為 ；將一個四位的“兩頭蛇數”去掉兩頭，得到一個兩位數，它恰好是這個“兩頭蛇數”的約數,求滿足條件的“兩頭蛇數”.

（2）已知兩個“親和數”的真因數之和都等于15，且這兩個“親和數”中較大的數能將一個正中間數位（百位）上的數為4的五位“兩頭蛇數”整除，若這個五位“兩頭蛇數”的千位上的數字小于十位上的數字，求滿足條件的“兩頭蛇數”.

Answer 1

【答案】（1）15，

（2）這個五位“兩頭蛇數”為：10461或11451或12441.

【解析】試題分析：（1）18的約數有1、2、3、6、9、18，它的真因數之和1+2+3+6+9=21；

試題解析：（1）6的約數有1、2、3、6，它的真因數之和1+2+3=6，所以6的親和數的約數有1和5，所以6的親和數為25；（2）我們可以把該數設為1ab1，則ab為它的一個約數，即1ab1=1001+ab0是ab的一個倍數，因為ab0肯定是ab的倍數，則1001也應為ab的一個倍數，即ab應為1001的一個約數，1001的兩位數的約數有11，13，77，91，則所有可能的數為1111，1131，1771，1911；

（2）設這個四位“兩頭蛇數”為，由題意得：

∴一個四位的“兩頭蛇數”與它去掉兩頭后得到的兩位數的三倍能被7整除.

(2)∵16的真因數有：1，2，4，8

∴1+2+4+8=15

∵15=1+3+11

∴16的“親和數”為33

設這個五位“兩頭蛇數”為，由題意得：

∴這個五位“兩頭蛇數”為：10461或11451或12441