Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB邊上且DE⊥BE．

（1）判斷直線AC與△DBE外接圓的位置關系，并說明理由；

（2）若AD=6，AE=6，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）直線AC與△DBE外接圓相切．（2）BC=4．

【解析】

（1）取BD的中點O，連接OE，證明∠OEB=∠CBE后可得OE⊥AC；

（2）設OD=OE=OB=x，利用勾股定理求出x的值，再證明△AOE∽△ABC，利用線段比求解．

（1）直線AC與△DBE外接圓相切．

理由：∵DE⊥BE

∴BD為△DBE外接圓的直徑

取BD的中點O（即△DBE外接圓的圓心），連接OE

∴OE=OB

∴∠OEB=∠OBE

∵BE平分∠ABC

∴∠OBE=∠CBE

∴∠OEB=∠CBE

∵∠CBE+∠CEB=90°

∴∠OEB+∠CEB=90°，即OE⊥AC

∴直線AC與△DBE外接圓相切；

（2）設OD=OE=OB=x

∵OE⊥AC

∴（x+6）2﹣（6）2=x2

∴x=3

∴AB=AD+OD+OB=12

∵OE⊥AC

∴△AOE∽△ABC

∴,即

∴BC=4．