Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，我們稱關于x的一元二次方程為“△ABC的☆方程”．根據規定解答下列問題：

（1）“△ABC的☆方程” 的根的情況是______（填序號）：

①有兩個相等的實數根；②有兩個不相等的實數根；③沒有實數根；

（2）如圖，AD為⊙O的直徑，BC為弦， BC⊥AD于E，∠DBC=30°，求“△ABC的☆方程” 的解；

（3）若x=是“△ABC的☆方程” 的一個根，其中a，b，c均為整數，且，求方程的另一個根．

Answer 1

【答案】（1）選②（2）（3）x1=，x2=-2．

【解析】

試題分析：（1）利用三角形各邊大于0，再利用，得出答案即可；

（2）利用等邊三角形的判定得出△ABC為等邊三角形，進而得出a=b=c，求出方程的根即可；

（3）將代入☆方程可得：，進而化簡得出，結合，可得，進而求出a，b，c的值求出方程的根即可．

試題解析：（1）選②

（2）由角度推導出△ABC為等邊三角形，等a=b=c

△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0可以變為：ax2+ax-a=0，

∵a≠0，方程進一步化簡為：x2+x-1=0解之得：

（3）將x=代入☆方程中可得：化簡可得：ac+4b-16=0，

結合ac-4b＜0，可得出0＜ac＜8，

由ac+4b=16，可知ac需能被4整除，又0＜ac＜8；

∴ac=4，從而b=3，

又因為a，c為正整數，則a=1，c=4（不能構成三角形，舍去）或者a=c=2，

所以☆方程為2x2+3x-2=0， 解得：x1=，x2=-2．