Question

已知：如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A(10，0)，C(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC上以每秒1個單位的速度由C向B運動．

(1) 求梯形ODPC的面積S與時間t的函數關系式；
(2) 在線段PB上是否存在一點Q，使得ODQP為菱形．若存在求t值；若不存在，說明理由；
(3) 當△OPD為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

（1）（2）在線段PB上存在一點Q，使得四邊形ODQP為菱形，此時；（3）P1(3，4)   P2(2.5，4)   P3(2，4)   P4(8，4)

試題分析：解：(1) ∵A(10，0)，C(0，4)
∴OA=10，OC=4
∵點D是OA的中點
∴OD=5
∴                     
(2) 假設在線段PB上存在一點Q，使得四邊形ODQP為菱形（如圖）

連結OP、DQ
∵四邊形ODQP為菱形
∴OP=OD=5
∵∠OCB=90°
∴OC2+PC2=OP2
∴PC=
∴
此時，PB=
∴在線段PB上存在一點Q，使得四邊形ODQP為菱形，此時    
(3) 當△OPD為等腰三角形時，有以下幾種情況：
P1(3，4)   P2(2.5，4)   P3(2，4)   P4(8，4)              
點評：本題難度系數中等，綜合考查了矩形的性質，坐標與圖形的性質，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定及性質，菱形的判定及性質，勾股定理的運用．