Question

如圖，直線EF交⊙O于A、B兩點，AC是⊙O直徑，DE是⊙O的切線，且DE⊥EF，垂足為E．

（1）求證：AD平分∠CAE；
（2）若DE＝4cm，AE＝2cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵OD＝OA  ∴∠ODA＝∠OAD    ………… 1分
∵DE是⊙O的切線
∴∠ODE＝90° OD⊥DE    ………… 2分
又∵DE⊥EF   ∴OD∥EF   …………… 3分
∴∠ODA＝∠DAE    ∴∠DAE＝∠OAD  ∴AD平分∠CAE. ………… 5分
(2)解：連接CD  ∵AC是⊙O直徑   ∴∠ADC＝90°………………… 6分
由（1）知：∠DAE＝∠OAD  ∠AED＝∠ADC 
∴△ADC∽△AED    ∴             ………………… 7分
在Rt△ADE中，DE＝4  AE＝2  ∴AD＝     ………………… 8分
∴  ∴AC＝10               ………………… 9分
∴ ⊙O的半徑是5.                          ………………… 10分

（1）連接OD，得出∠OAD=∠ODA，再證明∠EAD=∠ODA，得出結論；
（2）連接CD，證明△AED∽△ADC，根據勾股定理和相似三角形的性質求出半徑．