Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，點P從點A出發，沿折線AB﹣BC向終點C運動，在AB上以每秒5個單位長度的速度運動，在BC上以每秒3個單位長度的速度運動，點Q從點C出發，沿CA方向以每秒個單位長度的速度運動，P，Q兩點同時出發，當點P停止時，點Q也隨之停止．設點P運動的時間為t秒．

（1）求線段AQ的長；（用含t的代數式表示）

（2）連結PQ，當PQ與△ABC的一邊平行時，求t的值；

（3）如圖②，過點P作PE⊥AC于點E，以PE，EQ為鄰邊作矩形PEQF，點D為AC的中點，連結DF．設矩形PEQF與△ABC重疊部分圖形的面積為S．

①當點Q在線段CD上運動時，求S與t之間的函數關系式；

②直接寫出DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2時t的值．

Answer 1

【答案】（1）AQ=8﹣t（0≤t≤4）；（2）t=s或3s；（3）①；②t=s或s．

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理先求出AC，根據AQ=AC﹣CQ即可解決問題；

（2）分兩種情形列出方程求解即可；

（3）①分三種情形a、如圖1中，當0≤t≤時，重疊部分是四邊形PEQF．b、如圖2中，當＜t≤2時，重疊部分是四邊形PNQE．C、如圖3中，當2＜t≤3時，重疊部分是五邊形MNPBQ．分別求解即可；

②分兩種情形a、如圖4中，當DE：DQ=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．b、如圖5中，當NE：PN=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．分別列出方程即可解決問題；

試題解析：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC== =8，∵CQ=t，∴AQ=8﹣t（0≤t≤4）．

（2）①當PQ∥BC時， ，∴，∴t=s．

②當PQ∥AB時， ，∴，∴t=3．

綜上所述，t=s或3s時，當PQ與△ABC的一邊平行．

（3）①如圖1中，a、當0≤t≤時，重疊部分是四邊形PEQF．

S=PEEQ=3t（8﹣4t﹣t）=．

b、如圖2中，當＜t≤2時，重疊部分是四邊形PNQE．

S=S四邊形PEQF﹣S△PFN=（16t2﹣24t）﹣ [5t﹣（8﹣t）] [5t﹣（8﹣t0]= ．

C．如圖3中，當2＜t≤3時，重疊部分是五邊形MNPBQ．

S =S四邊形PBQF -S△FNM=t[6﹣3（t﹣2）]﹣[t﹣4（t﹣2）] [t﹣4（t﹣2）]= ．

綜上所述： ；

②a、如圖4中，當DE：DQ=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

則有（4﹣4t）：（4﹣t）=1：2，解得t=s；

b、如圖5中，當NE：PN=1：2時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．

∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，∴（4t﹣4）：（4﹣t）=1：3，解得t=s．

綜上所述，當t=s或s時，DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2．