Question

已知拋物線y=x²-2x+a（a＜0）與y軸相交于點A，頂點為M．直線y=

1

2

x-a分別與x軸，y軸相交于B，C兩點，并且與直線AM相交于點N．
（1）試用含a的代數式分別表示點M與N的坐標；
（2）如圖，將△NAC沿y軸翻折，若點N的對應點N′恰好落在拋物線上，AN′與x軸交于點D，連接CD，求a的值和四邊形ADCN的面積；
（3）在拋物線y=x²-2x+a（a＜0）上是否存在一點P，使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的解析式，不難用公式法求出M的坐標為（1，a-1）．由于拋物線過A點，因此A的坐標是（0，a）．根據A，M的坐標，用待定系數法可得出直線AM的解析式為y=-x+a．直線AM和y=

1

2

x-a聯立方程組即可求出N的坐標為（

4

3

a，-

1

3

a）．
（2）根據折疊的性質不難得出N與N′正好關于y軸對稱，因此N′的坐標為（-

4

3

a，-

1

3

a）．由于N′在拋物線上，因此將N′的坐標代入拋物線的解析式中即可得出a的值．也就能確定N，C的坐標．求四邊形ADCN的面積，可分成△ANC和△ADC兩部分來求．已經求得了A，C，N的坐標，可求出AC的長以及N，D到y軸的距離．也就能求出△ANC和△ADC的面積，進而可求出四邊形ADCN的面積．
（3）本題可分兩種情況進行討論：
①當P在y軸左側時，如果使以P，N，A，C為頂點的四邊形為平行四邊形，那么P需要滿足的條件是PN平行且相等于AC，也就是說，如果N點向上平移AC個單位即-2a后得到的點就是P點．然后將此時P的坐標代入拋物線中，如果沒有解說明不存在這樣的點P，如果能求出a的值，那么即可求出此時P的坐標．
②當P在y軸右側時，P需要滿足的條件是PN與AC應互相平分（平行四邊形的對角線互相平分），那么NP必過原點，且關于原點對稱．那么可得出此時P的坐標，然后代入拋物線的解析式中按①的方法求解即可．

解答：解：（1）M（1，a-1），N（

4

3

a，-

1

3

a）；

（2）∵由題意得點N與點N′關于y軸對稱，
∴N′（-

4

3

a，-

1

3

a）．
將N′的坐標代入y=x²-2x+a得：
-

1

3

a=

16

9

a²+

8

3

a+a，
∴a₁=0（不合題意，舍去），a2=-

9

4

．
∴N（-3，

3

4

），
∴點N到y軸的距離為3．
∵A（0，-

9

4

），N'（3，

3

4

），
∴直線AN'的解析式為y=x-

9

4

，它與x軸的交點為D（

9

4

，0）
∴點D到y軸的距離為

9

4

．
∴S_{四邊形ADCN}=S_△ACN+S_△ACD=

1

2

×

9

2

×3+

1

2

×

9

2

×

9

4

=

189

16

；

（3）存在，理由如下：
當點P在y軸的左側時，若ACPN是平行四邊形，則PN

∥

.

AC，
則把N向上平移-2a個單位得到P，坐標為（

4

3

a，-

7

3

a），代入拋物線的解析式，
得：-

7

3

a=

16

9

a²-

8

3

a+a，
解得a₁=0（不舍題意，舍去），a₂=-

3

8

，
則P（-

1

2

，

7

8

）；
當點P在y軸的右側時，若APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分，
則OA=OC，OP=ON．
則P與N關于原點對稱，
則P（-

4

3

a，

1

3

a）；
將P點坐標代入拋物線解析式得：

1

3

a=

16

9

a²+

8

3

a+a，
解得a₁=0（不合題意，舍去），a₂=-

15

8

，
則P（

5

2

，-

5

8

）．
故存在這樣的點P₁（-

1

2

，

7

8

）或P₂（

5

2

，-

5

8

），能使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題著重考查了待定系數法求函數解析式、圖形旋轉變換、平行四邊形的性質等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．