Question

（2012•虹口區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（0，3），B（1，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M．
（1）求b、c的值；
（2）將△OAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A落到點(diǎn)C的位置，該拋物線沿y軸上下平移后經(jīng)過點(diǎn)C，求平移后所得拋物線的表達(dá)式；
（3）設(shè)（2）中平移后所得的拋物線與y軸的交點(diǎn)為A₁，頂點(diǎn)為M₁，若點(diǎn)P在平移后的拋物線上，且滿足△PMM₁的面積是△PAA₁面積的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直接將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的解析式中求得未知系數(shù)的值即可；
（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得OA和OB的長(zhǎng)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后向下平移2個(gè)單位即可得到平移后的拋物線的解析式；
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，x₀²-4x₀+1），然后分0＜x₀＜2時(shí)和x₀＜0時(shí)兩種情況利用S_△PMM1=3S_△PAA1得到有關(guān)x₀的方程求得x₀即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（0，3），B（1，0）兩點(diǎn)，
∴

3=c 0=1+b+c

解得：

b=-4 c=3

∴b、c的值分別為-4，3；
（2）∵A（0，3），B（1，0），
∴OA=3，OB=1，
可得旋轉(zhuǎn)后C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，1），
當(dāng)x=4時(shí)，由y=x²-4x+3得y=3，
可知拋物線經(jīng)過y=x²-4x+3經(jīng)過點(diǎn)（4，3）
∴將原拋物線沿y軸向下平移2個(gè)單位后過點(diǎn)C，
∴平移后的拋物線的解析式為y=x²-4x+1．
（3）∵點(diǎn)P在y=x²-4x+1上，可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，x₀²-4x₀+1），
將y=x²-4x+1配方得y=（x-2）²-3
∴對(duì)稱軸為直線x=2，
∵S_△PMM1=3S_△PAA1 MM₁=AA₁=2
∴x₀＜2，
①當(dāng)0＜x₀＜2時(shí)，
∵S_△PMM1=3S_△PAA1，

1

2

×2×（2-x₀）=3×

1

2

×2×x₀，
解得：x₀=

1

2

，
∴x₀=

1

2

，此時(shí)x₀²-4x₀+1=-

3

4

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，-

3

4

），
②當(dāng)x₀＜0時(shí)，
同理可得

1

2

×2×（2-x₀）=3×

1

2

×2×（-x₀）
解得：x₀=-1，
∴x₀=-1，此時(shí)x₀²-4x₀+1=6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，6），
綜上所述，可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，-

3

4

）或（-1，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是本題中涉及到的求二次函數(shù)的解析式更是高頻考點(diǎn)，在第（3）題中分兩種情況討論是解決本題的關(guān)鍵．