Question

【題目】如圖，等邊△ABC中， AO是∠BAC的角平分線， D為 AO上一點，以 CD為一邊且在 CD下方作等邊△CDE，連接BE．

（1）求證：△ACD≌△BCE．

（2）延長BE至Q， P為BQ上一點，連接 CP、CQ使 CP=CQ=5，若 BC=6，求PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）PQ=8.

【解析】

（1）根據等邊三角形得∠ACD=∠BCE,即可證明△ACD≌△BCE（SAS）,

（2）過C作CH⊥BQ ，垂足為 H，由角平分線得到∠CAD= ∠BAC=30°,通過（1）得∠CAD=∠CBH=30°,根據30°角所對直角邊等于斜邊一半求出CH=3,勾股定理得HQ=4,三線合一性質即可求出PQ=8.

（1）證明：∵△ABC, △CDE 均為等邊三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB-∠DCO=∠DCE-∠DCO,即∠ACD=∠BCE ，

在△ACD 和△BCE 中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

（2）解：∵等邊△ABC中，AO平分∠BAC，∴∠CAD= ∠BAC=30°.

如下圖，過C點作CH⊥BQ ，垂足為 H，

由（1）知△ACD≌△BCE ,

則∠CAD=∠CBH=30°,

∴CH=BC=3 ,

∴在Rt△CHQ 中，HQ=4(勾股定理) ，

又∵CP=CQ，CH⊥PQ，

∴PH=HQ（三線合一）

∴ PQ=8.