Question

【題目】如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點P在BC邊上，當∠APD=90° 時，可知△ABP∽△PCD．（不要求證明）

（1）探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B=∠C=∠APD時，求證：△ABP∽△PCD．

（2）拓展：如圖③，在△ABC中，點P是邊BC的中點，點D、E分別在邊AB、AC上若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=8，CE=6，則DE的長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】【試題分析】（1）根據兩角對應相等，兩三角形相似證明；（2）根據相似三角形的性質求解.

【試題解析】

∵∠APD=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∵∠B=90°，

∴∠APB+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠DPC，

∵AB∥CD，∠B=90°，

∴∠C=∠B=90°，

∴△ABP∽△DCP．

（1）探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，

∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．

∵∠B=∠APD，

∴∠BAP=∠CPD．

∵∠B=∠C，

∴△ABP∽△PCD，

（2）拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，

∴，

∵點P是邊BC的中點，

∴BP=CP=4,

∵CE=6，

∴，

∴BD=，

∵∠B=∠C=45°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，

即AC⊥AB且AC=AB=8，

∴AD=AB﹣BD=8﹣=，AE=AC﹣CE=2，

在Rt△ADE中，DE==．

故答案是： ．