Question

拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點為A（m-4，0）和B（m，0），與直線y=-x+p相交于點A和點C（2m-4，m-6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上，且以點P和A，C以及另一點Q為頂點的平行四邊形面積為12，求點P，Q的坐標；
（3）在（2）條件下，若點M是x軸下方拋物線上的動點，當△PQM的面積最大時，請求出△PQM的最大面積及點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）代入直線y=-x+p上得到方程組

-(m-4)+p=0 -(2m-4)+p=m-6

，求出方程組的解

m=3 p=-1

，得出A、B、C的坐標，設拋物線y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1），把C（2，-3）代入求出a即可；
（2）AC所在直線的解析式為：y=-x-1，根據平行四邊形ACQP的面積為12，求出AC邊上的高為2

2

，過點D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點K，求出DK、DN，得到PQ的解析式為y=-x+3或y=-x-5，求出方程組的解，即可得到P₁（3，0），P₂（-2，5），根據ACQP是平行四邊形，求出Q的坐標；同法求出以AC為對角線時P、Q的坐標；
（3）設M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），過點M作y軸的平行線，交PQ所在直線于點T，則T（t，-t+3），求出MT=-t²+t+6，過點M作MS⊥PQ所在直線于點S，求出MS=-

2

2

（t-

1

2

）²+

25 2

8

，即可得到答案．

解答：解：（1）∵點A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）在直線y=-x+p上
∴

-(m-4)+p=0 -(2m-4)+p=m-6

，
解得：

m=3 p=-1

，
∴A（-1，0），B（3，0），C（2，-3），
設拋物線y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1），
∵C（2，-3），代入得：-3=a（2-3）（2+1），
∴a=1
∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3．
答：拋物線解析式為y=x²-2x-3．

（2）解：A（-1，0），C（2，-3），由勾股定理得：AC=

[2-(-1)]2+(-3-0)2

=3

2

，
AC所在直線的解析式為：y=-x-1，
∠BAC=45°，
∵平行四邊形ACQP的面積為12，
∴平行四邊形ACQP中AC邊上的高為

12

3 2

=2

2

，
過點D作DK⊥AC與PQ所在直線相交于點K，DK=2

2

，
∴DN=4，
∵四邊形ACQP，PQ所在直線在直線ADC的兩側，可能各有一條，
∴根據平移的性質得出直線PQ的解析式為①y=-x+3或②y=-x-5，
∴由①得：

y=x2-2x-3 y=-x+3

，
解得：

x1=3 y1=0

或

x2=-2 y2=5

，
由②得：

y=x2-2x-3 y=-x-5

，方程組無解，
即P₁（3，0），P₂（-2，5），
∵ACQP是平行四邊形，A（-1，0），C（2，-3），
∴當P（3，0）時，當以AC為邊時，Q₁（6，-3），Q₂（0，3），
當P（-2，5）時，當以AC為邊時，Q₃（1，2），Q₄（-5，8），
以AC為對角線時，P到AC的距離是12÷2÷（

1

2

×3

2

）=2

2

，
過C作CR⊥AC交x軸于R，則AC=CR=3

2

，由勾股定理得：AR=6，
則R的坐標是（5，0）過R作AC的平行線交拋物線于兩點，
則此直線的解析式是y=-（x-6）-1=-x+5，
解方程組

y=-x+5 y=x2-2x-3

得：

x1= 1+ 33 2 y1= 9- 33 2

，

x2= 1- 33 2 y2= 9+ 33 2

，
即在AC的兩旁各有一條直線，但當在AC下方時，直線和拋物線不能相交，
此時P坐標是（

1+ 33

2

，

9- 33

2

），Q坐標是（

1- 33

2

，

-15+ 33

2

）或P的坐標是（

1- 33

2

，

9+ 33

2

）Q的坐標是（

3+ 33

2

，-

15+ 33

2

）
答：點P，Q的坐標是P₁（3，0），Q₁（6，-3）或（0，3）
或P₂（-2，5），Q₂（1，2）或（-5，8），或P₃（

1+ 33

2

，

9- 33

2

），Q₃（

1- 33

2

，

-15+ 33

2

）或P₄（

1- 33

2

，

9+ 33

2

），Q₄（

3+ 33

2

，-

15+ 33

2

）．


（3）解：設M（t，t²-2t-3），（-1＜t＜3），
過點M作y軸的平行線，交PQ所在直線于點T，則T（t，-t+3），
MT=（-t+3）-（t²-2t-3）=-t²+t+6，
過點M作MS⊥PQ所在直線于點S，
MS=

2

2

MT=

2

2

（-t²+t+6）=-

2

2

（t-

1

2

）²+

25 2

8

，
則當t=

1

2

時，M（

1

2

，-

15

4

），△PQM中PQ邊上高的最大值為

25 2

8

，
∵P₁（3，0），Q₁（6，-3）或P₂（-2，5），Q₂（1，2）．
∴當P（3，0），Q（6，-3）時，PQ=

(3-6)2+(0+3)2

=3

2

．
當P（-2，5），Q（1，2）時，PQ=

(-2-1)2+(5-2)2

=3

2

，
∴S_△PQM=

1

2

×PQ×

25 2

8

=

75

8

．
答：△PQM的最大面積是

75

8

，點M的坐標是（

1

2

，-

15

4

）．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的最值，平行四邊形的性質，解二元一次方程組等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，有一定的難度．