Question

如圖，在平面直角坐標系中，以A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于B、C，與y軸的負半軸相交于D．
（1）若拋物線y=ax²+bx+c經過B、C、D三點，求此拋物線的解析式，并寫出拋物線與圓A的另一個交點E的坐標；
（2）若動直線MN（MN∥x軸）從點D開始，以每秒1個長度單位的速度沿y軸的正方向移動，且與線段CD、y軸分別交于M、N兩點，動點P同時從點C出發，在線段OC上以每秒2個長度單位的速度向原點O運動，連接PM，設運動時間為t秒，當t為何值時，

MN•OP

MN+OP

的值最大，并求出最大值；
（3）在（2）的條件下，若以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似，求實數t的值．

Answer 1

分析：（1）根據點A的坐標和圓的半徑可求出點B，點C，和點D的坐標，然后把拋物線的解析式設成兩根式，把三點的坐標代入即可求出a的值，把a的值代入解析式化為一般式即可；由拋物線的對稱性可知點D和點E關于拋物線的對稱軸對稱．利用-

b

2a

求出對稱軸，利用對稱軸和點D的坐標即可得出點E的坐標．
（2）根據路程等于速度乘以時間可得出DN=t，OP=8-2t，然后根據MN∥OC得出比例表示出MN，然后把表示出的MN和OP代入到

MN•OP

MN+OP

得到一個關于t的二次函數，當t=-

b

2a

=2時，代入

MN•OP

MN+OP

求出此時的最大值．
（3）把相似作為已知的條件來做，角PCM為公共角，所以分兩種情況討論：第一種△PCM∽△OCD，由相似的比例即可求出他的值；第二種情況△MCP∽△OCD，也有相似得比例，根據比例求出他的值．

解答：解：（1）由A（3，0）可知OA=3，又圓的半徑為5得OB=2，OC=8，
所以B（-2，0）C（8，0），易得D（0，-4），
設y=a（x+2）（x-8），
從而-4=a（0+2）（0-8），
解得a=

1

4

，
所以y=

1

4

（x+2）（x-8），
即y=

1

4

x²-

3

2

x-4，
又-

b

2a

=3，點D和點E關于直線x=3對稱，
所以E（6，-4）；

（2）N（0，t-4），因為MN∥OC，
所以

MN

DN

=

OC

OD

，即MN=2t，
又OP=8-2t，所以

MN•OP

MN+OP

=

2t(8-2t)

2t+8-2t

=-

1

2

（t-2）²+2
所以當t=2時取最大值2；

（3）若△PCM∽△OCD，
則

PC

PM

=

OC

OD

，即

2t

4-t

=

8

4

，
解得t=2；
若△MCP∽△OCD，則

PC

MC

=

DC

OC

，
即

2t

4 5 - 5 t

=

4 5

8

，
解得t=

20

9

即當t=2或t=

20

9

時，以P、C、M為頂點的三角形與△OCD相似．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形相似的運用．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．