Question

【題目】如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB=AC，直線MN與⊙O相切于點C，弦BD∥MN，AC與BD相交于點E．

（1）求證：△ABE ≌ △ACD；

（2）若AB = 5，BC = 3，求AE．

Answer 1

【答案】(1) 見解析;(2) AE = ．

【解析】分析：（1）在兩個三角形中，證明兩個三角形全等，找出三角形全等的條件，根據同弧所對的圓周角相等，根據所給的邊長相等，由邊角邊確定兩個三角形是全等三角形．
（2）可以證明得到對應邊成比例，設出要求的邊長，得到關于邊長的方程，解方程即可．

詳解：（1）連接OC，

∵直線MN與⊙O相切于點C，

∴OC ⊥ MN，

∵BD∥ MN，

∴OC ⊥ BD，

∴ =,

∴∠BAE =∠CAD，

在△ABE和△ACD中

∴△ABE ≌ △ACD（ASA）.

（2）由（1）知∠BAC = ∠CAD = ∠CBD,

∴

∴ ,

∵,

∴CE = ,

∴AE = ．