Question

【題目】直角坐標系中，已知A（1，0），以點A為圓心畫圓，點M（4，4）在⊙A上，直線y=﹣x+b過點M，分別交x軸、y軸于B、C兩點．

（1）①填空：⊙A的半徑為　 　，b=　 　．（不需寫解答過程）

②判斷直線BC與⊙A的位置關系，并說明理由．

（2）若EF切⊙A于點F分別交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．

（3）若點P在⊙A上，點Q是y軸上一點且在點C下方，當△PQM為等腰直角三角形時，直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1) 5，7;(2) 相切,理由見解析;(3) Q的坐標是（0，0）或（0，2）或（0，﹣8）或（0，3﹣）．

【解析】

（1）①連接AM，過M作MQ⊥x軸于Q，求出AQ、QM，根據勾股定理求出AM即可；把M的坐標代入解析式，求出b即可；②求出B、C的坐標，證△AQM和△BQM相似，推出∠MAQ=∠BMQ，推出∠AMB=90°即可；

（2）設EG=a，根據勾股定理求出BC、AC、CM的值，根據△BEG和△BOC相似，求出BE的值，根據△BEG和△AFG相似，求出GF的值，根據BC=BE+EM+CM，代入求出a即可；

（3）有三種情況：①當∠PQM=90°時，MQ=PQ，根據軸對稱，得出Q與O重合，即可求出Q的坐標；②當∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，證△MHQ≌△MDP，推出P是圓與x正半軸交點，即可求出答案；③當∠QPM=90°時，分兩種情況：第一情況：P在y的左方，設P（m，n），Q（0，b）得出方程①4-m=n-b，②4-n=-m，③（1-m）2+n2=52，解方程組即可求出b；第二情況：P在y的右方，同理能求出b的值．

（1）①解：連接AM，過M作MQ⊥x軸于Q，

則AQ=4﹣1=3，MQ=4，

由勾股定理得：AM==5，

把M（4，4）代入y=﹣x+b得：4=﹣×4+b，

∴b=7，

故答案為：5，7．

②解：相切，

理由是：連接AF，

y=﹣x+7，

當x=0時，y=7，∴C（0，7），OC=7，

當y=0時，0=﹣x+7，

∴x=，

∴B（，0），OB=，

∴BQ=OB﹣OQ=﹣4=，AQ=4﹣1=3，MQ=4，

∴==，=，

∴=，

∵∠MQA=∠MQB，

∴△AMQ∽△MBQ，

∴∠MAQ=∠BMQ，

∵∠MAQ+∠AMQ=90°，

∴∠AMQ+∠BMQ=90°，

∴AM⊥BC，

∴直線BC與⊙A的位置關系是相切．

（2）解：連接AC，

在△COB中，由勾股定理得：BC==，

同理AC=5，

∵AM=5，由勾股定理得：CM=5，

設EG=a，

∵EF⊥BC，

∴∠FEB=∠COB=90°，

∵∠OBC=∠OBC，

∴△BEG∽△BOC，

∴，

即=，

∴BE=a，

∴根據切線長定理得：EM=EF=BC﹣BE﹣CM=﹣a﹣5，

∵EF⊥CB，AF⊥EF，

∴AF∥BC，

∴△AFG∽△BEG，

∴=，

∴=，

∴FG=，

∵BE+EM+CM=BC，

∴a+a++5=，

a=，

EG=，FG=，

∴==3．

（3）解：①當∠PQM=90°時，MQ=PQ，由對稱性M，P關于X軸對稱，

所以Q，O重合，Q（0，0）；

②當∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，

可得△MHQ≌△MDP，

即P是圓與x正半軸交點

從而Q（0，2）；

③當∠QPM=90°時，分兩種情況：

第一情況：P在y的左方，如圖，

設P（m，n），Q（0，b）可得：

①4﹣m=n﹣b，②4﹣n=﹣m，③（1﹣m）2+n2=52，

解方程組得，b=2，b=﹣8（b=2也符合條件，雖與②中b同，但直角不同），

第二情況：P在y的右方，同理得：

①m﹣4=n﹣b，②4﹣n=m，③（1﹣m）2+n2=52，

解方程組得，b=3+（舍），b=3﹣．

綜合上述：Q的坐標是（0，0）或（0，2）或（0，﹣8）或（0，3﹣）．