Question

在平面直角坐標系中，圖①和圖②中的各三角形頂點均在網格圖的格點上，根據所給信息解答下列問題：
（1）動手操作，探究結論：在圖①中，△ABO的三個頂點的坐標分別是A（2，4）、B（4，0）、O（0，0），將△ABO的三個頂點的橫坐標都加上2，縱坐標不變，分別得到點A’、B’、O’，依次連接A’、B’、O’各點，畫出△A’B’O’，并說明△A’B’O’與△ABO在大小、形狀、位置上有什么關系？
（2）仔細觀察，探究規律：在圖②中，第一次將△OAB變換成△OA₁B₁，第二次將△OA₁B₁變換成△OA₂B₂，第三次將△OA₂B₂變換成△OA₃B₃，已知A（1，4），A₁（2，4），A₂（4，4），A₃（8，4），B（2，0），B₁（4，0）B₂（8，0），B₃（16，0）…
①按此圖形變化規律，寫出△OA₄B₄的頂點坐標A₄______，B₄______；
②通過計算得出△OA₄B₄的面積是△OAB面積的______倍；
③通過上述變化規律，請你猜想出△OA_nB_n的面積是△OAB面積的多少倍？

Answer 1

解：（1）如圖，△A′B′O′與△ABO的形狀，大小完全相同，△A′B′O′可以看作將△ABO向右平移2個單位得到的；

（2）①8×2=16，16×2=32，
∴A₄（16，4）、B₄（32，0），
②∵△OA₄B₄與△OAB的高都是4，OB₄=16×2=32，OB=2，
∴S_△OA4B4=×32×4=64，
S_△OAB=×2×4=4，
64÷4=16，
∴△OA₄B₄的面積是△OAB面積的16倍；
③根據規律，后一個三角形的底邊是前一個三角形底邊的2倍，高相等都是4，
∴OB_n=2ⁿ⁺¹，
S_△OAnBn=×2ⁿ⁺¹×4=2ⁿ⁺²，
S_△OAB=×2×4=4，
2ⁿ⁺²÷4=2ⁿ，
∴△OAnBn的面積是△OAB面積的2ⁿ倍．
分析：（1）把點A、B、C向右移動兩個單位，分別找出點A′、B′、O′的位置，然后順次連接即可得到△A′B′O′，然后根據平移的性質解答；
（2）①根據規律發現，把點A₃與點B₃的橫坐標擴大2倍，縱坐標不變解答；
②根據三角形的面積公式分別計算出△OA₄B₄的面積與△OAB的面積，然后相除即可求出倍數；
③根據三角形的底邊后一個是前一個三角形的底邊的2倍，先求出△OA_nB_n的底邊OB_n的長度，高都是4不變，然后利用三角形的面積公式分別計算出兩三角形的面積，相除即可得到倍數．
點評：本題考查了坐標變換的平移變換以及圖形規律的探尋，（2）中發現三角形的高都是4不變，底邊成2倍擴大的規律是解題的關鍵．