Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4，﹣ ），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；

（3）以AB為直徑的⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣ （a≠0）

∵拋物線經過（0，2）

∴a（0﹣4）2﹣ =2

解得：a=

∴y= （x﹣4）2﹣

即：y= x2﹣ x+2

當y=0時， x2﹣ x+2=0

解得：x=2或x=6

∴A（2，0），B（6，0）；

（2）

解：存在，

如圖2，由（1）知：拋物線的對稱軸l為x=4，

因為A、B兩點關于l對稱，連接CB交l于點P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6，0），C（0，2）

∴OB=6，OC=2

∴BC=2 ，

∴AP+CP=BC=2

∴AP+CP的最小值為2 ；

（3）

解：如圖3，連接ME

∵CE是⊙M的切線

∴ME⊥CE，∠CEM=90°

∵C的坐標（0，2），

∴OC=2，

∵AB=4，

∴ME=2

∴OC=ME=2，

∵∠ODC=∠MDE，

∵在△COD與△MED中

∴△COD≌△MED（AAS），

∴OD=DE，DC=DM

設OD=x

則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x

則Rt△COD中，OD2+OC2=CD2，

∴x2+22=（4﹣x）2

∴x=

∴D（ ，0）

設直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵直線CE過C（0，2），D（ ，0）兩點，

則

解得：

∴直線CE的解析式為y=﹣ +2；

【解析】（1）利用頂點式求得二次函數的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點坐標的橫坐標；（2）線段BC的長即為AP+CP的最小值；（3）連接ME，根據CE是⊙M的切線得到ME⊥CE，∠CEM=90°，從而證得△COD≌△MED，設OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得點D的坐標，然后利用待定系數法確定線段CE的解析式即可．