Question

隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高．某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y₁與投資量x成正比例關(guān)系，如圖①所示；種植花卉的利潤y₂與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）
（1）分別求出利潤y₁與y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤，他能獲取的最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)總利潤=樹木利潤+花卉利潤，列出函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)的最值．
解答：解：（1）設(shè)y₁=kx，由圖①所示，函數(shù)y₁=kx的圖象過（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利潤y₁關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y₁=2x，
∵該拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，
∴設(shè)y₂=ax²，
由圖②所示，函數(shù)y₂=ax²的圖象過（2，2），
∴2=a•2²，，
故利潤y₂關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是：y=x²；

（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬元（0≤x≤8），則投入種植樹木（8-x）萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據(jù)題意，
得z=2（8-x）+x²=x²-2x+16=（x-2）²+14，
當(dāng)x=2時，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴-2≤x-2≤6，
∴（x-2）²≤36，
∴（x-2）²≤18，
∴（x-2）²+14≤18+14=32，
即z≤32，此時x=8，
答：當(dāng)x=8時，z的最大值是32．
點(diǎn)評：本題第（1）個問題是已知一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式，觀察兩個函數(shù)的圖象可知，前者是正比例函數(shù)，后者是二次函數(shù)，頂點(diǎn)是（0，0），利用待定系數(shù)法，先設(shè)兩個函數(shù)的解析式，再將P（1，2），Q（2，2）代入相應(yīng)的解析式求出參數(shù)即可；第（2）個問題是已知自變量的取值范圍求二次函數(shù)的最值，屬于二次函數(shù)的條件最值問題．這類試題一般先將函數(shù)解析式配方，將函數(shù)解析式變成頂點(diǎn)形式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程，結(jié)合自變量的取值范圍，畫出函數(shù)圖象（拋物線的一部分），根據(jù)拋物線的對稱性、開口方向，確定函數(shù)的最大（或最小）值，不宜直接用最值公式，這種解題方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合的思想，它的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，避免死記公式．