Question

隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高．某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y₁與投資量x成正比例關系，如圖①所示；種植花卉的利潤y₂與投資量x成二次函數關系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）
（1）分別求出利潤y₁與y₂關于投資量x的函數關系式；
（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤，他能獲取的最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據圖象利用待定系數法求解函數解析式；
（2）根據總利潤=樹木利潤+花卉利潤，列出函數關系式，再求函數的最值．
解答：解：（1）設y₁=kx，由圖①所示，函數y₁=kx的圖象過（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利潤y₁關于投資量x的函數關系式是y₁=2x，
∵該拋物線的頂點是原點，
∴設y₂=ax²，
由圖②所示，函數y₂=ax²的圖象過（2，2），
∴2=a•2²，，
故利潤y₂關于投資量x的函數關系式是：y=x²；

（2）設這位專業戶投入種植花卉x萬元（0≤x≤8），則投入種植樹木（8-x）萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據題意，
得z=2（8-x）+x²=x²-2x+16=（x-2）²+14，
當x=2時，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴-2≤x-2≤6，
∴（x-2）²≤36，
∴（x-2）²≤18，
∴（x-2）²+14≤18+14=32，
即z≤32，此時x=8，
答：當x=8時，z的最大值是32．
點評：本題第（1）個問題是已知一次函數和二次函數的圖象，求函數的解析式，觀察兩個函數的圖象可知，前者是正比例函數，后者是二次函數，頂點是（0，0），利用待定系數法，先設兩個函數的解析式，再將P（1，2），Q（2，2）代入相應的解析式求出參數即可；第（2）個問題是已知自變量的取值范圍求二次函數的最值，屬于二次函數的條件最值問題．這類試題一般先將函數解析式配方，將函數解析式變成頂點形式，找出頂點坐標和對稱軸方程，結合自變量的取值范圍，畫出函數圖象（拋物線的一部分），根據拋物線的對稱性、開口方向，確定函數的最大（或最小）值，不宜直接用最值公式，這種解題方法體現了數學中的數形結合的思想，它的優點是直觀形象，避免死記公式．