Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

（3）點M是x軸上的一個動點，當△DCM的周長最小時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）, D (,);（2）△ABC是直角三角形,證明見解析;

（3）M（ ，0）.

【解析】（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x2 + bx-2上，

∴× (-1 )2 + b× (-1)–2 = 0，

解得b =，

∴ 拋物線的解析式為y=x2-x-2.

y= ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,

∴頂點D的坐標為 (, -).

（2）當x = 0時y = -2,

∴C（0，-2），OC = 2。

當y = 0時， x2-x-2 = 0，

∴x1 =-1， x2 = 4,

∴B (4,0)

∴OA = 1, OB = 4, AB = 5.

∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,

∴AC2 +BC2 = AB2.

∴△ABC是直角三角形.

（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MD的值最小及△DCM的周長最小

設拋物線的對稱軸交x軸于點E.

∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴

∴， ∴m =．

所以M的坐標為（，0）