Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中點。

（1）求證：⊿MDC是等邊三角形；
（2）將⊿MDC繞點M旋轉，當MD（即MD′）與AB交于一點E，MC即MC′）同時與AD交于一點F時，點E，F和點A構成⊿AEF，試探究⊿AEF的周長是否存在最小值。如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出⊿AEF周長的最小值。

Answer 1

解：（1）證明：過點D作DP⊥BC，于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q， ∵∠C=∠B=60°， ∴CP=BQ=AB，CP+BQ=AB， 又∵ADPQ是矩形，AD=PQ，故BC=2AD， 由已知，點M是BC的中點，BM=CM=AD=AB=CD， 即⊿MDC中，CM=CD，∠C=60°，故⊿MDC是等邊三角形； （2）⊿AEF的周長存在最小值，理由如下： 連接AM，由（1）平行四邊形ABMD是菱形，⊿MAB，⊿MAD和⊿MC′D′是等邊三角形， ∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°， ∴∠BME=∠AMF， 在⊿BME與⊿AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°， ∴⊿BME≌⊿AMF（ASA）， ∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB， ∵∠EMF=∠DMC=60°，故⊿EMF是等邊三角形，EF=MF， ∵MF的最小值為點M到AD的距離，即EF的最小值是， ⊿AEF的周長=AE+AF+EF=AB+EF， ⊿AEF的周長的最小值為2+。