Question

已知頂點為A（1，5）的拋物線y=ax²+bx+c經過點B（5，1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），設C，D分別是x軸、y軸上的兩個動點，求四邊形ABCD的最小周長；
（3）在（2）中，當四邊形ABCD的周長最小時，作直線CD．設點P（x，y）（x＞0）是直線y=x上的一個動點，Q是OP的中點，以PQ為斜邊按圖（2）所示構造等腰直角三角形PQR．
①當△PQR與直線CD有公共點時，求x的取值范圍；
②在①的條件下，記△PQR與△COD的公共部分的面積為S．求S關于x的函數關系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）可設頂點式，將頂點為A（1，5），點B（5，1）代入求出拋物線的解析式；
（2）可以過y，x軸分別做A，B的對稱點A′，B′，然后連A′D，B′C，當這四點在同一直線時，周長最小，求出即可；
（3）作B關于x軸對稱點B′，A關于y軸對稱點A′，連接A′B′，與x軸，y軸交于C、D點，此時四邊形ABCD周長最小，求出CD的解析式，求出CD與直線y=x的交點坐標，得到△PQR與直線y=x有公共點時x的取值范圍，以及公共部分的面積S與x之間的函數關系式．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點為A（1，5），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+5，
將點B（5，1）代入，得a（5-1）²+5=1，
解得a=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x²+

1

2

x+

19

4

；

（2）可以過y，x軸分別做A，B的對稱點A′，B′，然后連A′D，B′C，
顯然A′（-1，5），B′（5，-1），連接A′B′分別交x軸、y軸于點C、D兩點，
∵DA=DA′，CB=CB′，
∴此時四邊形ABCD的周長最小，最小值就是A′B′+AB，
而A′B′=

(5+1) 2+(1+5) 2

=6

2

，
AB=

(5-1) 2+(1-5) 2

=4

2

，
∴A′B′+AB=10

2

，
四邊形ABCD的最小周長為10

2

；

（3）①點B關于x軸的對稱點B′（5，-1），點A關于y軸的對稱點A′（-1，5），連接A′B′，與x軸，y軸交于C，D點，
∴CD的解析式為：y=-x+4，
聯立

y=-x+4 y=x

，
得：

x=2 y=2

，
∵點P在y=x上，點Q是OP的中點，
∴要使等腰直角三角形與直線CD有公共點，則2≤x≤4．
故x的取值范圍是：2≤x≤4．
②如圖：

點E（2，2），當EP=EQ時，x-2=2-

1

2

x，得：x=

8

3

，
當2≤x≤

8

3

時，S=

1

2

PR•RQ-

1

2

EP²=

1

2

（x-

1

2

x）•（x-

1

2

x）-

1

2

•

2

（x-2）•

2

（x-2），
S=-

7

8

x²+4x-4，
當x=

16

7

時，S_最大=

4

7

．
當

8

3

≤x≤4時，S=

1

2

EQ²=

1

2

•

2

（2-

1

2

x）•

2

（2-

1

2

x），
S=

1

4

（x-4）²，
當x=

8

3

時，S_最大=

4

9

．
故S的最大值為：

4

7

．

點評：本題考查的是二次函數的綜合題，（1）利用頂點式求出二次函數的解析式，（2）確定四邊形的周長，（3）根據對稱性求出CD的解析式，然后求出x的取值范圍和S與x的函數關系．