Question

如圖1，若四邊形ABCD、四邊形CFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE.
小題1:當正方形GFED繞D旋轉到如圖2的位置時，AG=CE， AG⊥CH是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.
小題2:當正方形GFED繞D旋轉到如圖3的位置時，延長CE交AG于H，交AD于M.當AD=4，DG=時，求CH的長。

Answer 1

小題1:AG=CE， AG⊥CH成立
小題2:CH=

解：（1）成立．
四邊形、四邊形是正方形，
∴    ……………1分
∠∠.
∴∠90°-∠∠.                          ……………2分
∴△△.
∴.               ……………3分
（1）可得△△，
∴∠1＝∠2              …………………4分
又∵∠＝∠. 
∴∠∠＝.
即            …………………5分
（1）解法一: 過作于,
（2）
由題意有,
∴，則∠1＝.   ………6分
而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.
∴　，即.         …………………7分
在Rt中，＝＝,………8分
而∽,∴,　 即,　　　　
∴.　                                …………………9分
再連接，顯然有,
∴.
所求的長為.                            …………………10分
解法二：研究四邊形ACDG的面積
過作于,

由題意有,
∴,.        ………………8分
而以CD為底邊的三角形CDG的高=PD=1,
,
∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.
∴=.               ………………10分