Question

【題目】問題提出

（1）如圖（1），已知中，，，，求點到的最短距離．

問題探究

（2）如圖（2），已知邊長為3的正方形，點、分別在邊和上，且，，連接、，若點、分別為、上的動點，連接，求線段長度的最小值．

問題解決

（3）如圖（3），已知在四邊形中，，，，連接，將線段沿方向平移至，點的對應點為點，點為邊上一點，且，連接，的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）

【解析】

（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．設AH=CH=x，根據，構建方程即可解決問題．
（2）如圖2中，作EJ⊥DF于J．利用相似三角形的性質求出EJ，再根據垂線段最短即可解決問題．
（3）如圖3中，如圖3中，記MN的中垂線與AC的交點為點O，連接OM，ON，OB，OD，并以點O為圓心，OM為半徑長作⊙O．以點O為圓心，OM為半徑作圓，當⊙O與CD相切于 N時，即此時⊙O也與AB，BC相切，切點分別為M，G，此時MN最小．連接OG．設AC交BD于J，作AT⊥BC于T．利用相似三角形的性質求出MN即可．

解：（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵∠C=45°，∠AHC=90°，
∴AH=CH，設AH=CH=x．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=30°，
∴BH=，
∴

∴x=2，即AH=2，
∴點A到BC的最短距離為2．

（2）如圖2中，作EJ⊥DF于J，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=3，
∵，，
∴AE=CF=1，DE=BF=2，

∴DF=，
∵DE∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴BE∥DF，
∵EJ⊥DF，
∴∠EJD=∠EDC=∠C=90°，
∴∠EDJ＋∠CDF=90°，∠CDF＋∠CFD=90°，
∴∠EDJ=∠CFD，
∴△EDJ∽△DFC，

∴，

即

∴，

根據垂線段最短可知，MN的最小值為=；

（3）如圖3中，記MN的中垂線與AC的交點為點O，連接OM，ON，OB，OD，并以點O為圓心，OM為半徑長作⊙O．以點O為圓心，OM為半徑作圓，當⊙O與CD相切于 N時，即此時⊙O也與AB，BC相切，切點分別為M，G，此時MN最小．連接OG．設AC交BD于J，作AT⊥BC于T．

在Rt△ABT中，∵∠ATB=90°，AB=3，∠ABT=60°，
∴BT=，AT=，

∴CT=BCBT=，

∴，

∵AB=AD，CB=CD，
∴AC⊥BD，BJ=DJ，

∴
∴，
∵OM=OG，OM⊥AB，OG⊥BC，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBM=，
∴OB=2OM，
∵OB=OD，OM=ON，BM=DN，
∴△OMB≌△OND（SSS），
∴∠BOM=∠NOD，
∴∠MON=∠BOD，
∵OM=ON，OB=OD，
∴△MON∽△BOD，

∴，

∴，

∴MN的最小值為：．