Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=，E為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)（不與A，C重合），將射線EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角之后，所得射線與直線AD交于F點(diǎn)．試探究線段EB與EF的數(shù)量關(guān)系．

小宇發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E的位置，和的大小都不確定，于是他從特殊情況開(kāi)始進(jìn)行探究．

（1）如圖1，當(dāng)==90°時(shí)，菱形ABCD是正方形．小宇發(fā)現(xiàn)，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分線的性質(zhì)可知EM=EN，進(jìn)而可得，并由全等三角形的性質(zhì)得到EB與EF的數(shù)量關(guān)系為 ．

（2）如圖2，當(dāng)=60°，=120°時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖形；

②請(qǐng)幫小宇繼續(xù)探究（1）的結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)舉出反例說(shuō)明；

（3）小宇在利用特殊圖形得到了一些結(jié)論之后，在此基礎(chǔ)上對(duì)一般的圖形進(jìn)行了探究，設(shè)∠ABE=，若旋轉(zhuǎn)后所得的線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系滿足（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫(xiě)出角,，滿足的關(guān)系： ．

Answer 1

【答案】（1）EB=EF；（2）①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；②結(jié)論依然成立EB=EF．證明見(jiàn)解析； （3）°（當(dāng)B的對(duì)稱點(diǎn)不為D時(shí)）或°（當(dāng)B的對(duì)稱點(diǎn)為D時(shí)）

【解析】

(1)先證明ANEM是正方形，再證明，即可證得結(jié)果；

(2)①補(bǔ)全圖形如圖所示；

②證法1，用角平分線性質(zhì)得出EM=EN,再證明出，即可；

證法2，利用菱形的性質(zhì)直接出△ADE≌△ABE．即可得出結(jié)論；

(3)直接得出結(jié)論。

（1）EB=EF；

（2）①補(bǔ)全圖形如圖所示；

②結(jié)論依然成立EB=EF．

證法1：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴．

∵EM⊥AF，EN⊥AB．

∴°，EM=EN．

∵°，°，

∴°°．

∵°，

∴．

在△EFM與△EBN中，

∴△EFM ≌△EBN．

∴EF=EB．

證法2：連接ED

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．

又∵AE=AE,

∴△ADE≌△ABE．

∴ED=EB，∠ADE=∠ABE．

又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．

∴∠F+∠ABE=180°．

又∵∠ADE+∠FDE=180°，

∴∠F=∠FDE．

∴EF=ED．

∴EF=EB．

（3）°（當(dāng)B的對(duì)稱點(diǎn)不為D時(shí)）或°（當(dāng)B的對(duì)稱點(diǎn)為D時(shí)）.