Question

（2006•泰安）如圖，Rt△AOB是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的直角三角形紙片，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，OB=，∠BAO=30度．將Rt△AOB折疊，使BO邊落在BA邊上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，折痕為BC．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求經(jīng)過B，C，A三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；若拋物線的頂點(diǎn)為M，試判斷點(diǎn)M是否在直線BC上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意易得∠OBC=∠DBC=30°，進(jìn)而在Rt△COB可得C的坐標(biāo)，又有B的坐標(biāo)；進(jìn)而可得BC的解析式；
（2）在Rt△AOB可得OA的長，即可得A的坐標(biāo)；將ABC的坐標(biāo)代入解析式方程可得abc的值，進(jìn)而可得拋物線的解析式；將M的坐標(biāo)代入判斷其是否在拋物線上．
解答：解：（1）∵∠OBC=∠DBC=∠OBA=×（90°-30°）=30°
∴在Rt△COB中，OC=OB•tan30°==1
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）（2分）
又點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，）
∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+
∴0=k+，
∴k=-
則直線BC的解析式為：y=-x+；（4分）

（2）∵在Rt△AOB中，OA==3
∴A（3，0），
又∵B（0，），C（1，0）
∴（7分）
解之得：a=，b=-，c=
∴所求拋物線的解析式為y=x²-x+（8分）
配方得：y=（x-2）²-
∴頂點(diǎn)為（9分）
把x=2代入y=-x+，得：y=-≠-，
∴頂點(diǎn)M不在直線BC上．（10分）
點(diǎn)評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．