Question

（2006•泰安）如圖，點D，E分別在△ABC的邊BC，BA上，四邊形CDEF是等腰梯形，EF∥CD．EF與AC交于點G，且∠BDE=∠A．
（1）試問：AB•FG=CF•CA成立嗎？說明理由；
（2）若BD=FC，求證：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知證明△FGC∽△ACB，由于相似三角形的對應邊成比例，即可得出AB•FG=CF•CA；
（2）根據已知條件，利用等角對等邊定理可推出△ABC是等腰三角形．
解答：解：（1）成立．
理由：∵四邊形CDEF是等腰梯形，EF∥CD，
∴∠F=∠DEF，∠DEF=∠BDE，∠FGC=∠ACB．
又∠BDE=∠A，
∴∠A=∠F．∴△FGC∽△ACB
∴
∴AB•FG=CF•CA；

（2）證明：∵BD=FC，ED=FC，
∴BD=ED．
∴∠B=∠BED．
∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，
∴∠BED=∠BCA，
∴∠B=∠BCA，
∴AB=AC．
則△ABC是等腰三角形．
點評：此題主要考查了學生對相似三角形的判定，等腰三角形的判定及等腰梯形的性質等的掌握情況及運用能力．