Question

如圖，線段AB經過圓心O，交⊙O于A、C兩點，點D在⊙O上，∠A=∠B=30°．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點N在⊙O上，且DN⊥AB，垂足為M，NC=10，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵∠A=∠B=30°，OD=OC，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠DOC=60°，
∴∠ODB=90°，
即OD⊥BD，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：連接CD，
∵DN⊥AB，
∴弧DC=弧CN，
∴CD=CN=10，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=30°，
∴AC=20，
∴AD==10．
分析：（1）連接OD，由切線的判定定理可證得OD⊥BD，則BD是⊙O的切線；
（2）連接CD，由垂徑定理可得：CD=CN=10，在直角三角形ADC中，由勾股定理可求出AD的長．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了垂徑定理和勾股定理．